मान लीजिए f(x) = begin{cases} a sin(x + b) & | vedclass

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Question

(B) $f(x)$ को $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 0$ पर सतत होना चाहिए। अतः,$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = f(0) \implies 6(0)^7 - 0 + 1 = a \sin(b) \imp

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$2$

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(B) $f(x)$ को $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 0$ पर सतत होना चाहिए। अतः,$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = f(0) \implies 6(0)^7 - 0 + 1 = a \sin(b) \implies a \sin b = 1$. साथ ही,$x = 0$ पर बायां अवकलज और दायां अवकलज समान होना चाहिए। $f'(x) = \begin{cases} a \cos(x + b) & x > 0 \ 42x^6 - 1 & x $x = 0$ पर अवकलजों की तुलना करने पर: $a \cos b = -1$. दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर: $(a \sin b)^2 + (a \cos b)^2 = 1^2 + (-1)^2 \implies a^2(\sin^2 b + \cos^2 b) = 2 \implies a^2 = 2 \implies a = \pm \sqrt{2}$. स्थिति $I$: यदि $a = \sqrt{2}$ है,तो $\sin b = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$। यह $b = \frac{3\pi}{4}$ के संगत है। स्थिति $II$: यदि $a = -\sqrt{2}$ है,तो $\sin b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos b = \frac{1}{\sqrt{2}}$। यह $b = \frac{7\pi}{4}$ के संगत है। अतः,क्रमित युग्म $(\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4})$ और $(-\sqrt{2}, \frac{7\pi}{4})$ हैं। ऐसे कुल $2$ क्रमित युग्म हैं।

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मान लीजिए $f(x)=|1-2 x|$, तो

यदि $f(x) = \begin{cases} \tan^{-1} x, & \text{जब } |x| \leq 1 \\ \frac{1}{2}(|x|-1), & \text{जब } |x| > 1 \end{cases}$ है,तो $\frac{d}{dx} f(x)$ का प्रांत (domain) ज्ञात कीजिए।

वह मान $m$ जिसके लिए फलन $f(x) = \begin{cases} mx^2, & x \le 1 \\ 2x, & x > 1 \end{cases}$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय है,है:

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \sin x, & x \ge 0 \text{ के लिए} \\ 1 - \cos x, & x \le 0 \text{ के लिए} \end{cases}$ और $g(x) = e^x$ है। तो $(g \circ f)'(0)$ क्या है?

निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

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